APROKSIMASI TERBAIK ; KUADRAT TERKECIL

APROKSIMASI TEBAIK

Aproksimasi secara umum berarti hampiran atau pendekatan.

Pada bagian ini akan ditunjukkan bagaimana proyeksi ortogonal dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal tertentu mengenai aproksimasi.

Proyeksi Ortogonal Dipandang sebagai Aproksimasi


Perhatikan gambar di atas!

Jika P adalah sebuah titik di dalam ruang berdimensi 3 biasa dan W adalah sebuah bidang yang melewati titik asal ruang tersebut, maka titik Q pada W yang jaraknya terdekat dengan P dapat diperoleh dengan memproyeksikan P secara tegak lurus terhadap W.

Pandanglah u sebagai sebuah vektor tetap yang hendak kita aproksimasikan dengan menggunakan sebuah vektor pada W. Setiap aproksimasi w semacam ini akan menghasilkan sebuah “vektor kesalahan”.

uw

yang tidak dapat dijadikan sama dengan 0, terkecuali jika u terletak pada W. Akan tetapi, dengan memilih

w = projwu

Kita dapat menjadikan panjang vektor kesalahan

u-w║= ║u– projwu

Sekecil mungkin. Sehingga kita dapat mendeskripsikan projwu sebagai “aproksimasi terbaik” bagi u relatif terhadap vektor-vektor pada W. Teorema berikut ini akan membakukan gagasan intuitif di atas.


Bukti

Untuk setiap vektor w pada W kita dapat menuliskan

uw = (u– projwu) + (projwu – w)

namun projwu – w, karena merupakan selisih dua buah vektor pada W, terletak pada W; dan u-projwu ortogonal terhadap W, sehingga kedua suku pada sisi kanan (1) saling ortogonal. Dengan demikian, melalui teorema Pythagoras (6.2.4)

u-w║²= ║u– projwu║²+ ║projwu – w║²

Jika w = projwu, maka suku kedua dari penjumlahan di atas akan bernilai positif sehingga

u-w║² > ║u– projwu║²

Atau secara ekuivalen

u-w║= ║u– projwu

KUADRAT TERKECIL


Masalah kuadrat terkecil

Jika diberikan sebuah sistem linear Ax = b yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, tentukan sebuah vektor x , jika mungkin, yang meminimalkan nilai ║Ax – b║ merujuk pada hasil kali dalam Euclidean pada Rm. Vektor semacam ini disebut juga sebagai solusi kuadrat terkecil dari Ax = b.

Untuk menyelesaikannya, anggap W adalah ruang dari kolom A. Untuk setiap matriks x, n × 1, hasilkali Ax adalah sebuah kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A. Sehingga, dengan bervariasinya nilai x di dalam Rn, vektor Ax juga akan bervariasi pada berbagai kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor kolom dari A.

Berdasarkan teorema hampiran terbalik kita dapatkan bahwa vektor yang terdekat dari b dalam W merupakan proyeksi ortogonal dari b pada W. Jadi, agar suatu vektor x agar menjadi penyelesaian kuadrat kecil dari Ax = b, vektor ini harus memenuhi


Dari teorema Proyeksi kita mengetahui bahwa


Ortogonal terhadap W. Tetapi W adalah ruang kolom dari A, sehingga dari Teorema kita dapatkan bahwa b-Ax terletak pada ruang-kosong dari AT. Oleh karena itu, suatu penyelesaian kuadrat terkecil dari Ax = b harus memenuhi


Atau secara ekuivalen,


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: